[제어공학] 근궤적법(Root Locus Method) _ #2 예제로 이해하기

이번 포스팅에서는

근궤적법 관련하여 예제를 통해 이해해 보는

시간을 갖으려 합니다.

 

앞서

근궤적법을 왜 배우는지,

어떤 장점을 갖고 있는지, 언제 쓰는지 등에 대해 알아봤습니다.

 

아직 못보신 분들은 아래 포스팅을 참고해 주세요!

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https://jauroun.tistory.com/76

[제어공학] 근궤적법(Root Locus Method) _ #1 왜 배울까?

 

이제는 예제를 통해서 알아봅시다.

 

 

1. 근을 직접 조사하는 방법

위와 같은 구조가 있다고 생각해 봅시다.

이 때, 각각 G(s)와 H(s)는 아래와 같다고 예를 들어 봅시다.

 

 

이런 상황에서,

폐루프 전달함수를 구해보면 위의 T(s)로 나타내어 집니다.

 

폐루프 전달함수의 분모를 0으로 하는

즉, 특성방정식은 아래와 같죠.

 

 

근을 계산해보면, 위와 같이 2개의 근이 나옵니다.

2개의 근은 변화 가능한 파라미터 K가 포함하고 있죠.

(근의 공식을 쓰면 쉽게 구할 수 있습니다.)

 

이제 이 두개의 근(s1, s2)이

K 값에 따라 어떻게 바뀌는지를 한 번 확인해 보겠습니다.

 

K의 값이 음의 무한대 ~ 양의 무한대 까지 범위를 갖는다고 할 때,

K=0 일 때를 생각해 봅시다.

단순히 K에 0을 대입해 보면 됩니다.

s1과 s2는 각각 0과 -2가 나오지요?

 

K=1 일 때는 어떻게 될까요? 대입해 보면 -1이 되네요.

 

자 그렇다면 이제 K 값에 따른 결과를 보기 좋게 정리해 보겠습니다.

K값 변화에 따른 근의 변화

위의 값은 K 값이 어떤 값을 가지는지에 따라

특성방정식의 근이 어떻게 바뀌는지 몇 가지 경우에 대해 계산해 본 결과입니다.

 

◆ K 값에 따른 특징
 ① K < 0 일 때,
   → 임의의 음의 값을 K에 대입해보면 두 개의 근 중 하나는 양의 근, 다른 하나는 음의 근 형태로 얻어짐
 ② K = 0 일 때,
   → 근은 0과 -2 가 되는데, 0의 경우 허수축에 있는 근이기 때문에 발산은 아니지만 계속해서 진동하고 있는 형태
 ③ 0 < K < 1 일 때,
   → 근은 서로 다른 두 개의 음의 실근을 갖음
 ④ K = 1 일 때,
   → 근은 -1의 중근을 갖음
 ⑤ K > 1 일 때,
   → 두 개의 근은 음의 실수부를 갖는 공액복소근을 갖음

◆ 정리를 해보면, 
 : 양의 실근을 갖는 ①의 경우는 불안정합니다. 그리고 0을 갖는 ②의 경우도 만족스럽지 못하죠. 비록 발산하지는 않겠지만 목표치를 향해 점차 감쇠하는 결과도 얻을 수 없기 때문입니다.③ ~ ⑤의 경우, 두 근 모두 음의 실수부를 갖기 때문에 안정한 결과의 파형을 나타낼 수 있을 것입니다.
 즉, K > 0 이라면, 두 근의 실수부가 모두 음의 값을 갖기 때문에 안정한 출력 결과를 낼 것이란 것을 추측할 수 있습니다. 물론, K 값에 따라 출력의 특성(성능)은 각각 다르겠지만요. 그래도 언젠가는 목표값에 도달할 것입니다.

2. 근궤적을 이용하여 시각적으로 근 위치 파악

아무튼,

이렇게 K 값을 각각 대입해 보면서

복소평면 상에서의 근의 위치를 하나씩 찍어볼 수 있을 겁니다.

하지만, 너무나도 번거롭고 귀찮죠.

 

이럴 때, 근궤적법을 이용하면 쉽게 시각적으로 근의 위치를 파악할 수 있습니다.

돌려보니 이렇게 나옵니다.

결과를 이해해 봅시다.

 

-2와 0에 'x' 표시가 보이죠? 이 때가 K=0 일 때 입니다.

그리고 중근을 갖는 K=1인 경우가 -1인 지점이구요.

K=0 일 때, 두개의 근은 -2와 0이 되고,

K값이 점점 커지면 두 개의 근은 -1 지점으로 점점 다가갑니다.

그러다가, K=1 일 때 -1지점에서 중근을 갖고

K>1이 되면, -1로 실수부는 고정되고 허수부가 점점 증가하는 형태입니다.

 

만약 K의 경우의 수에 따라서 근을 하나하나 계산해야 한다면 굉장히 오래 걸리겠죠.

하지만, 근궤적을 구해보면 이렇게 쉽게 시각적으로 확인이 가능하죠.

 

 

3. 근 위치에 따른 실제 출력 특성 확인해보기

 

자, 그렇다면!

혹시,

 

"K 값에 따라 근이 변하는 것을 시각적으로 확인은 했는데,

실제로 근에 따라 출력 특성이 바뀌는 것이 맞아? 어떻게 믿어?"

 

라고 생각하셨나요?

 

그래서 출력특성도 한 번 확인해 보려 합니다.

 

K의 값이 각각 0.5, 1, 2, 4 일 때의 출력 파형입니다.

입력은 초록색처럼 1이라는 값이구요. 스텝응답에 대한 출력을 나타낸 것입니다.

 

아까 앞에서, 

0 < K < 1, K=1 인 경우에 실근을 갖는다고 했었죠?

실근을 갖을 때는 허수부의 값은 없고, 실수부의 값만 있으니 

위와 같이 파형이 나오게 됩니다.

 

반면에,

K > 1 인 경우,

실수부를 -1로 갖으면서 허수부가 존재하는 공액복소근이 나왔잖아요?

그래서 오버슈트가 존재하는 것이겠죠.

 

물론, 위의 4가지 경우 모두 시간이 지남에 따라 목표치를 향해가고 있으니,

안정하다고 할 수 있겠네요.

근의 위치에 따라 안정도 판별했던 것이 실제로도 맞는가 봅니다!

 

따라서,

임의의 파라미터 K의 변화에 따른 근궤적(Root Locus)을 얻을 수 있다면,

안정할 수 있는 K값 또는 그 범위를 알 수 있겠죠.

또한, 성능에 대해서도 근위 위치에 따라 어느정도 유추가 가능하니 

참 편리합니다.

 

이해하시는데 이번 포스팅이 도움이 되셨으리라 믿고

전 이만 마치겠습니다~!!